布朗运动（Brownian Motion）的概率计算，是基于其独特的性质展开：连续的轨迹、独立增量以及正态分布的增量等。以下是针对标准布朗运动概率计算的常见方法及其示例：
一、基础概率计算
标准布朗运动${W(t), t \geq 0}$的描述中，任意时刻$t$的位移$W(t)$遵循正态分布$N(0, t)$。其概率密度函数为：
$f_{W(t)}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{x^2}{2t}}$
例如，要计算$P(W(2) \leq 1)$，我们可以令$Z = \frac{W(2)}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，于是有：
$P(W(2) \leq 1) = P\left(Z \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx \Phi(0.707) \approx 0.76$
对于增量的概率，若$0 < s < t$，增量$W(t)-W(s) \sim N(0, t-s)$，且与$W(s)$独立。例如，计算$P(W(5)-W(2) > 1)$，可以转化为：
$P\left(Z > \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 1-\Phi(0.577) \approx 0.28$
二、联合概率与相关系数
对于不同的时间点$t_1$和$t_2$，其中$t_1 < t_2$，布朗运动$W(t_1)$与$W(t_2)$之间的协方差为$\min(t_1, t_2)$，相关系数则为$\rho = \sqrt{\frac{t_1}{t_2}}$。例如，求$P(W(1) > 0 \cap W(2) < 0)$时，可以通过分解$W(2)$并考虑其独立性进行求解。
三、路径性质相关概率
这部分涉及反射原理和停止时刻的。反射原理主要用于计算首达时间或最大值的分布。例如，粒子在时间$[0,T]$内的最大位移$M(T)$的分布可以通过标准布朗运动的性质进行推导。对于停止时刻，如首达时刻，可以通过鞅理论或偏微分方程求解相关概率。
四、数值计算工具
在实际应用中，常使用正态分布表、数值积分（如误差函数$\text{erf}(x)$）或蒙特卡洛模拟进行计算。这些工具和方法为布朗运动概率的计算提供了实际操作的路径。
布朗运动的概率计算涵盖了丰富的内容和方法，从基础的概率密度函数到复杂的路径性质，都展现了随机过程的独特魅力。
