椭圆、双曲线与抛物线的几何特性
一、椭圆
标准方程：对于中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆，其方程为：
长轴在x轴时：\\(\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1\\)（其中a > b）。
长轴在y轴时：方程相反。
参数：包括长半轴a，短半轴b，焦距c = \\sqrt{a^2 - b^2}，焦点坐标为 (±c, 0)（x轴方向）或（0, ±c）（y轴方向）。离心率e = \\frac{c}{a} < 1。准线方程为 x 或 y = ±\\frac{a}{e}，取决于轴的方向。
二、双曲线
标准方程：对于中心在原点、实轴为坐标轴的双曲线，其方程为：
开口沿x轴时：\\(\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1\\)。
开口沿y轴时：方程相反。
参数：包括实半轴a，虚半轴b，焦距c = \\sqrt{a^2 + b^2}，焦点坐标为 (±c, 0) 或 （0, ±c）。离心率e = \\frac{c}{a} > 1。渐近线方程为 y = ±\\frac{b}{a}x（开口x轴）或 y = ±\\frac{a}{b}x（开口y轴）。准线方程与椭圆类似。
三、抛物线
标准方程：对于顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线，其方程为：
开口向右时：y² = 4ax。焦点在(a, 0)，准线在 x = -a。其他方向的开口同理。离心率e = 1。
四、圆锥曲线的统一理解
圆锥曲线是到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数e（离心率）的点的轨迹。其中椭圆的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，双曲线的离心率大于1。这一特性为我们提供了一个统一的视角来理解和分析这三种曲线。
五、极坐标方程
以焦点为极点的极坐标方程为 r = \\frac{ed}{1 + e \\cos θ}，其中e为离心率，d为焦点到准线的距离。这一公式对于描述圆锥曲线在极坐标系下的形态非常有用。
这些公式和理论为我们深入理解和分析椭圆、双曲线和抛物线的几何特性提供了有力的工具。无论是进行学术研究还是工程应用，这些基础知识都是非常重要的。
