三边测量法（Trilateration）是一种根据三个已知参考点的坐标和它们到未知点的距离来确定未知点位置的方法。这种方法通过构建特定的数学公式和方程组来精确计算未知点的坐标。
一、基本方程组
假设我们有三个参考点，每个点都有已知的坐标（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。未知点到这三个参考点的距离分别为d1、d2和d3。我们可以通过以下数学方程组来计算未知点的坐标（x，y）：
(x−x_1)^2 + (y−y_1)^2 = d_1^2 \( (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = d_1^2 \)
(x−x_2)^2 + (y−y_2)^2 = d_2^2 \( (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = d_2^2 \)
(x−x_3)^2 + (y−y_3)^2 = d_3^2 \( (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 = d_3^2 \)
这三个方程共同构成了三边测量法的基本方程组。
二、线性化求解步骤
为了简化计算，我们可以将上述非线性方程组转化为线性方程 AX=B 的形式。其中矩阵A和向量B分别如下：
矩阵A： A=\\begin{bmatrix} 矩阵A由两个参考点之间的坐标差构成。具体表达式为： A = \begin{bmatrix} 2(x_1-x_3) & 2(y_1-y_3) \ 2(x_2-x_3) & 2(y_2-y_3) \end{bmatrix} 向量B： B=\\begin{bmatrix} 向量B由参考点的坐标平方和与距离差的平方构成。具体表达式为： B = \begin{bmatrix} x_1^2 + y_1^2 - d_1^2 \ x_2^2 + y_2^2 - d_2^2 \end{bmatrix} 通过解方程 X = A^{-1}B，我们可以求得未知点的坐标（x，y）。在实际应用中，我们通常会使用最小二乘法等方法来优化计算结果，以处理可能出现的测量误差。进行三边测量时至少需要三个参考点以避免出现多解问题。三边测量法在平面定位、室内导航、机器人SLAM等领域有着广泛的应用。结合电磁波测距仪等测量设备，还可以用于测绘工程中，直接测定边长并推算坐标。三边测量法是一种重要的定位技术，具有广泛的应用前景。
