1. 自环的基本定义
自环是指一条边的两个端点重合为同一个顶点的边，即形式为 \\( e = (u, u) \\) 的边。这种边在图中表现为顶点与自身的直接连接。
2. 自环在图分类中的作用
简单图与非简单图：若图中不含自环和重边，则称为简单图；反之，包含自环或重边的图称为非简单图。
度数计算：自环对顶点的度数贡献为2（因为其两端点相同，需重复计算）。
3. 自环与其他环结构的区别
普通环（回路）：通常指至少包含三个不同顶点且首尾相连的闭合路径，例如哈密尔顿环。
自环：仅涉及单个顶点，是环的最小特例。
4. 自环的应用场景
算法问题：在路径搜索或环检测中，自环可能导致无限循环（如负权自环影响最短路径计算）。
图论模型：用于表示自我关联关系，如社交网络中的用户自我互动。
5. 自环的数学性质
握手定理：图中所有顶点度数之和等于边数的两倍，自环因其对度数的双重贡献需特别注意。
邻接矩阵表示：自环对应矩阵主对角线上的非零元素。
自闭环是图论中描述顶点自我连接的基础概念，其存在与否直接影响图的分类和算法设计。
